物流数学

<h2>1.5 概率与统计基础 - 离散型随机变量</h2> <p><strong>定义：</strong>离散型随机变量是指其所有可能取值可以一一列举出来的随机变量。这些值通常是有限的或可数无限的。</p> <h3>一、概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）</h3> <p>对于一个离散型随机变量X，如果存在一个函数f(x)使得对任意x属于X的所有可能取值集合S，都有P(X=x) = f(x)，则称f(x)为X的概率质量函数。</p> <ul> <li>性质： <ul> <li>f(x) ≥ 0 对于所有的 x ∈ S。</li> <li>∑_x∈S f(x) = 1。</li> </ul> </li> </ul> <h3>二、期望值（Expected Value）</h3> <p>离散型随机变量X的期望值E[X]定义为其所有可能取值与其对应概率乘积之和：<br/> E[X] = ∑_x∈S x * P(X=x)</p> <h3>三、方差（Variance）</h3> <p>描述了随机变量偏离其平均值的程度。方差Var(X)定义为：<br/> Var(X) = E[(X-E[X])²] = E[X²] - (E[X])²</p> <h3>例题说明：</h3> <p><strong>题目：</strong>设有一离散型随机变量X表示抛掷一枚公平骰子的结果，求X的概率质量函数、期望值及方差。</p> <p><strong>解答：</strong></p> <ol> <li>由于是公平骰子，每个面出现的概率相等，即P(X=x)=1/6, 其中x=1,2,3,4,5,6。</li> <li>计算期望值E[X]:<br/> E[X] = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3.5</li> <li>计算方差Var(X): 首先计算E[X²]<br/> E[X²] = 1²*(1/6) + 2²*(1/6) + 3²*(1/6) + 4²*(1/6) + 5²*(1/6) + 6²*(1/6) = 91/6<br/> 则 Var(X) = E[X²] - (E[X])² = 91/6 - (3.5)² ≈ 2.92</li> </ol> 这段HTML代码提供了关于离散型随机变量的基本概念解释及其在实际问题中的应用示例，通过清晰地定义、性质描述以及具体的计算过程来帮助理解这一知识点。

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