1.3 微积分基础
基本初等函数的导数公式
重要程度：7 分
<h2>1.3 微积分基础 - 基本初等函数的导数公式</h2>
<p><strong>定义：</strong> 导数是函数在某一点处的变化率，描述了函数值随自变量变化的速度。</p>
<h3>一、基本初等函数的导数公式</h3>
<ul>
<li><strong>常数函数：</strong> \( (c)' = 0 \)，其中\( c \)为常数。</li>
<li><strong>幂函数：</strong> \( (x^n)' = nx^{n-1} \)，其中\( n \)为任意实数。</li>
<li><strong>指数函数：</strong> \( (e^x)' = e^x \)；\( (a^x)' = a^x\ln(a) \)，其中\( a > 0, a \neq 1 \)。</li>
<li><strong>对数函数：</strong> \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)；\( (\log_a x)' = \frac{1}{x\ln(a)} \)，其中\( a > 0, a \neq 1 \)。</li>
<li><strong>三角函数：</strong> \( (\sin x)' = \cos x \)；\( (\cos x)' = -\sin x \)。</li>
<li><strong>反三角函数：</strong> \( (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)；\( (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)；\( (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \)。</li>
</ul>
<h3>二、应用示例</h3>
<ol>
<li>求\( y = 3x^4 - 2x + 1 \)的导数。
<p><strong>解:</strong> 根据导数规则，\( y' = (3x^4 - 2x + 1)' = 3*4x^{4-1} - 2*1 + 0 = 12x^3 - 2 \)。</p>
</li>
<li>给定\( f(x) = e^{2x} + \ln(5x) \)，求\( f'(x) \)。
<p><strong>解:</strong> 利用复合函数求导法则，\( f'(x) = (e^{2x})' + (\ln(5x))' = 2e^{2x} + \frac{1}{5x} * 5 = 2e^{2x} + \frac{1}{x} \)。</p>
</li>
</ol>