n阶行列式的定义
n阶行列式的定义
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<h2>1. n阶行列式的定义</h2>
<p>n阶行列式是n行n列的方阵，记作D或|A|，其中A是一个n×n的矩阵。n阶行列式的定义可以通过以下两种方式理解：</p>
<h3>1.1. 代数和定义</h3>
<p>n阶行列式可以表示为所有不同行不同列的元素乘积的代数和。具体来说：</p>
<blockquote>
<p>D = |A| = ∑(±a₁j₁a₂j₂...anjn)</p>
</blockquote>
<p>其中，求和符号∑表示对所有可能的排列(j₁, j₂, ..., jn)进行求和，每一项的符号由排列的奇偶性决定：</p>
<ul>
<li>如果排列(j₁, j₂, ..., jn)是偶排列，则该项取正号；</li>
<li>如果排列(j₁, j₂, ..., jn)是奇排列，则该项取负号。</li>
</ul>
<h3>1.2. 递归定义（按行或列展开）</h3>
<p>n阶行列式也可以通过递归的方式定义，即通过低阶行列式来计算高阶行列式。对于一个n阶行列式，可以选择任意一行或一列进行展开，例如选择第i行：</p>
<blockquote>
<p>D = ∑(-1)^(i+j) * aij * Mij</p>
</blockquote>
<p>其中，Mij是去掉第i行和第j列后剩下的(n-1)阶行列式，称为余子式；(-1)^(i+j)称为代数余子式。</p>
<h3>例题1：计算2阶行列式</h3>
<p>给定2阶矩阵A：</p>
<blockquote>
<p>A =
<begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}</p>
</blockquote>
<p>其行列式D = |A| = ad - bc。</p>
<h3>例题2：计算3阶行列式</h3>
<p>给定3阶矩阵B：</p>
<blockquote>
<p>B =
<begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}</p>
</blockquote>
<p>我们可以通过按第一行展开来计算行列式：</p>
<blockquote>
<p>D = 1 *
<begin{vmatrix}
5 & 6 \\
8 & 9
\end{vmatrix}
- 2 *
<begin{vmatrix}
4 & 6 \\
7 & 9
\end{vmatrix}
+ 3 *
<begin{vmatrix}
4 & 5 \\
7 & 8
\end{vmatrix}</p>
</blockquote>
<p>分别计算每个2阶行列式：</p>
<blockquote>
<p>
<begin{vmatrix}
5 & 6 \\
8 & 9
\end{vmatrix} = 5*9 - 6*8 = 45 - 48 = -3
</p>
<p>
<begin{vmatrix}
4 & 6 \\
7 & 9
\end{vmatrix} = 4*9 - 6*7 = 36 - 42 = -6
</p>
<p>
<begin{vmatrix}
4 & 5 \\
7 & 8
\end{vmatrix} = 4*8 - 5*7 = 32 - 35 = -3
</p>
</blockquote>
<p>因此，行列式D = 1*(-3) - 2*(-6) + 3*(-3) = -3 + 12 - 9 = 0。</p>