全排列和对换
全排列的定义
重要程度：8 分
<h2>1.1 全排列的定义</h2>
<p><strong>定义：</strong> 设有 <em>n</em> 个不同的元素 <span style="font-family: Courier New;">1, 2, 3, ..., n</span>，将这 <em>n</em> 个元素排成一列，称为这 <em>n</em> 个元素的一个全排列。</p>
<p>例如，对于 <em>n = 3</em> 的情况，所有的全排列为：<br>
<span style="font-family: Courier New;">123, 132, 213, 231, 312, 321</span></p>
<p>全排列的总数为 <em>n!</em>（<em>n</em> 的阶乘），即：<br>
<em>n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1</em></p>
<h3>例题 1：求 4 个元素的全排列</h3>
<p>设 <em>n = 4</em>，则 4 个元素的所有全排列为：<br>
<span style="font-family: Courier New;">1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321</span></p>
<p>全排列的总数为：<br>
<em>4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24</em></p>
<h3>例题 2：计算 5 个元素的全排列总数</h3>
<p>设 <em>n = 5</em>，则 5 个元素的全排列总数为：<br>
<em>5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120</em></p>
<h2>1.2 对换</h2>
<p><strong>定义：</strong> 在一个排列中，任意交换两个元素的位置，称为一次对换。</p>
<p>例如，在排列 <span style="font-family: Courier New;">1234</span> 中，交换第 2 个和第 4 个元素，得到的新排列为 <span style="font-family: Courier New;">1432</span>。</p>
<p>对换可以改变排列的奇偶性。如果一个排列可以通过偶数次对换变为另一个排列，则这两个排列是同奇偶的；如果需要奇数次对换，则这两个排列是不同奇偶的。</p>
<h3>例题 3：判断排列的奇偶性</h3>
<p>给定排列 <span style="font-family: Courier New;">312</span>，判断它与自然排列 <span style="font-family: Courier New;">123</span> 的奇偶性是否相同。</p>
<p>步骤：<br>
1. 从 <span style="font-family: Courier New;">312</span> 开始，将 3 和 1 交换，得到 <span style="font-family: Courier New;">132</span>（一次对换）。<br>
2. 再将 3 和 2 交换，得到 <span style="font-family: Courier New;">123</span>（再次对换）。</p>
<p>总共进行了 2 次对换，因此 <span style="font-family: Courier New;">312</span> 与 <span style="font-family: Courier New;">123</span> 是同奇偶的。</p>