矩阵的秩
矩阵秩与线性方程组解的关系
重要程度：9 分
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<h2>矩阵的秩与线性方程组解的关系</h2>
<p>矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它与线性方程组的解有着密切的关系。</p>
<ul>
<li><strong>定理1：</strong>对于一个m×n的线性方程组AX=b，若A的秩为r，则：
<ul>
<li>当r=n时，有唯一解；</li>
<li>当r<n时，有无穷多解。</li>
</ul>
</li>
<li><strong>定理2：</strong>对于一个m×n的线性方程组AX=0（齐次线性方程组），若A的秩为r，则：
<ul>
<li>当r=n时，只有零解；</li>
<li>当r<n时，有非零解。</li>
</ul>
</li>
</ul>
<h3>例题</h3>
<p>考虑以下线性方程组：</p>
<pre>
2x + y - z = 5
x - y + z = 1
3x + 2y - 2z = 4
</pre>
<p>其增广矩阵为：</p>
<pre>
A =
[2 1 -1 | 5]
[1 -1 1 | 1]
[3 2 -2 | 4]
</pre>
<p>通过行变换，可以将A化简为行阶梯形矩阵：</p>
<pre>
[1 -1 1 | 1]
[0 3 -3 |-1]
[0 0 0 | 0]
</pre>
<p>因此，A的秩为2。</p>
<p>由于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数，故该方程组有无穷多解。</p>
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