方阵的行列式
克莱姆法则及其应用
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<h2>克莱姆法则及其应用</h2>
<p><strong>克莱姆法则：</strong>克莱姆法则提供了一种用行列式来表示线性方程组解的方法。对于一个含有n个未知数的线性方程组，如果它的系数行列式D不为0，那么这个方程组有唯一解。</p>
<p>设线性方程组为：</p>
<pre>
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
</pre>
<p>如果其系数行列式 D ≠ 0，则方程组的解可由下述公式给出：</p>
<ul>
<li>x1 = D1 / D</li>
<li>x2 = D2 / D</li>
<li>...</li>
<li>xn = Dn / D</li>
</ul>
<p>其中，Dj是将系数行列式D中第j列元素换成常数项b1, b2, ..., bn后得到的新行列式。</p>
<h3>例题解析</h3>
<p>考虑以下线性方程组：</p>
<pre>
2x + y - z = 4
x - y + z = 2
3x + 2y + z = 5
</pre>
<p>首先计算系数行列式D：</p>
<pre>
| 2 1 -1 |
| 1 -1 1 |
| 3 2 1 |
</pre>
<p>D = 2((-1) * 1 - 1 * 2) - 1(1 * 1 - 3 * 1) - (-1)(1 * 2 - 3 * (-1))</p>
<p>= 2(-1 - 2) - 1(1 - 3) - (-1)(2 + 3)</p>
<p>= 2(-3) - 1(-2) - (-1)(5)</p>
<p>= -6 + 2 + 5 = 1</p>
<p>因为D ≠ 0，所以方程组有唯一解。</p>
<p>接下来计算D1：</p>
<pre>
| 4 1 -1 |
| 2 -1 1 |
| 5 2 1 |
</pre>
<p>D1 = 4((-1) * 1 - 1 * 2) - 1(2 * 1 - 5 * 1) - (-1)(2 * 2 - 5 * (-1))</p>
<p>= 4(-1 - 2) - 1(2 - 5) - (-1)(4 + 5)</p>
<p>= 4(-3) - 1(-3) - (-1)(9)</p>
<p>= -12 + 3 + 9 = 0</p>
<p>因此，x = D1 / D = 0 / 1 = 0。</p>
<p>同样地，计算D2和D3：</p>
<pre>
| 2 4 -1 |
| 1 2 1 |
| 3 5 1 |
</pre>
<p>D2 = 2(2 * 1 - 5 * 1) - 4(1 * 1 - 3 * 1) - (-1)(1 * 5 - 3 * 2)</p>
<p>= 2(2 - 5) - 4(1 - 3) - (-1)(5 - 6)</p>
<p>= 2(-3) - 4(-2) - (-1)(-1)</p>
<p>= -6 + 8 - 1 = 1</p>
<p>y = D2 / D = 1 / 1 = 1。</p>
<pre>
| 2 1 4 |
| 1 -1 2 |
| 3 2 5 |
</pre>
<p>D3 = 2((-1) * 5 - 2 * 2) - 1(1 * 5 - 3 * 2) + 4(1 * 2 - 3 * (-1))</p>
<p>= 2(-5 - 4) - 1(5 - 6) + 4(2 + 3)</p>
<p>= 2(-9) - 1(-1) + 4(5)</p>
<p>= -18 + 1 + 20 = 3</p>
<p>z = D3 / D = 3 / 1 = 3。</p>
<p>最终，方程组的解为：x = 0, y = 1, z = 3。</p>
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