几种特殊的矩阵
正交矩阵
重要程度：9 分
<div>
<h2>正交矩阵</h2>
<p><strong>定义：</strong> 正交矩阵是一个方块矩阵，其列向量和行向量是标准正交的。</p>
<p>用公式表示：如果一个矩阵 \( Q \) 满足 \( Q^T Q = Q Q^T = I \)，则称 \( Q \) 为正交矩阵。</p>
<p>其中，\( Q^T \) 表示矩阵 \( Q \) 的转置，\( I \) 表示单位矩阵。</p>
<h3>性质</h3>
<ul>
<li>正交矩阵的行列式为 \( \pm 1 \)。</li>
<li>正交矩阵的逆矩阵等于其转置，即 \( Q^{-1} = Q^T \)。</li>
</ul>
<h3>举例</h3>
<p>考虑以下矩阵 \( Q \)：</p>
<pre>
Q = [ 0.6 0.8 ]
[-0.8 0.6 ]
</pre>
<p>我们验证 \( Q \) 是否为正交矩阵：</p>
<pre>
Q^T = [ 0.6 -0.8 ]
[ 0.8 0.6 ]
Q^T * Q = [ 0.6 0.8 ] * [ 0.6 0.8 ] = [ 1 0 ]
[-0.8 0.6 ] [-0.8 0.6 ] [ 0 1 ]
</pre>
<p>由于 \( Q^T * Q = I \)，所以 \( Q \) 是正交矩阵。</p>
<h3>例题</h3>
<p>设矩阵 \( A \) 如下：</p>
<pre>
A = [ 0.5 0.5 0.707 ]
[ 0.5 -0.5 -0.707 ]
[ 0.707 0.707 0 ]
</pre>
<p>判断 \( A \) 是否为正交矩阵。</p>
<p>首先计算 \( A^T \)：</p>
<pre>
A^T = [ 0.5 0.5 0.707 ]
[ 0.5 -0.5 0.707 ]
[ 0.707 0.707 0 ]
</pre>
<p>然后计算 \( A^T * A \)：</p>
<pre>
A^T * A = [ 0.5 0.5 0.707 ] * [ 0.5 0.5 0.707 ] = [ 1 0 0 ]
[ 0.5 -0.5 0.707 ] [ 0.5 -0.5 -0.707 ] [ 0 1 0 ]
[ 0.707 0.707 0 ] [ 0.707 0.707 0 ] [ 0 0 1 ]
</pre>
<p>由于 \( A^T * A = I \)，因此 \( A \) 是正交矩阵。</p>
</div>