随机事件及其运算
完备事件组的概念
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<h2>完备事件组的概念</h2>
<p><strong>完备事件组：</strong> 在概率论中，一个完备事件组是指一组事件，这组事件互斥且至少有一个事件会发生。</p>
<ul>
<li>事件之间是互斥的：任意两个事件不能同时发生。</li>
<li>这些事件至少有一个会发生：所有事件的并集等于样本空间。</li>
</ul>
<p>用公式表示，设 \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) 是完备事件组，则有：</p>
<ul>
<li>\( A_i \cap A_j = \emptyset \) 对于所有的 \( i \neq j \)，即任意两个事件互斥。</li>
<li>\( A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = S \)，即所有事件的并集等于样本空间。</li>
</ul>
<h3>例题说明</h3>
<p>假设掷一枚均匀的骰子，样本空间 \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)。</p>
<p>我们可以定义如下三个事件：</p>
<ul>
<li>\( A_1 \) 表示掷出的点数为奇数，即 \( A_1 = \{1, 3, 5\} \)。</li>
<li>\( A_2 \) 表示掷出的点数为偶数，即 \( A_2 = \{2, 4, 6\} \)。</li>
<li>\( A_3 \) 表示掷出的点数大于3，即 \( A_3 = \{4, 5, 6\} \)。</li>
</ul>
<p>这三个事件并不是完备事件组，因为它们之间没有完全互斥，并且它们的并集并不覆盖整个样本空间。</p>
<p>现在我们重新定义事件组：</p>
<ul>
<li>\( B_1 \) 表示掷出的点数为1，即 \( B_1 = \{1\} \)。</li>
<li>\( B_2 \) 表示掷出的点数为2，即 \( B_2 = \{2\} \)。</li>
<li>\( B_3 \) 表示掷出的点数为3，即 \( B_3 = \{3\} \)。</li>
<li>\( B_4 \) 表示掷出的点数为4，即 \( B_4 = \{4\} \)。</li>
<li>\( B_5 \) 表示掷出的点数为5，即 \( B_5 = \{5\} \)。</li>
<li>\( B_6 \) 表示掷出的点数为6，即 \( B_6 = \{6\} \)。</li>
</ul>
<p>这个事件组是完备事件组，因为：</p>
<ul>
<li>\( B_i \cap B_j = \emptyset \) 对于所有的 \( i \neq j \)，即任意两个事件互斥。</li>
<li>\( B_1 \cup B_2 \cup B_3 \cup B_4 \cup B_5 \cup B_6 = S \)，即所有事件的并集等于样本空间。</li>
</ul>
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