函数的极限
函数的连续性
重要程度：8 分
<div>
<h2>函数的连续性</h2>
<p>在讨论函数的连续性时，我们首先需要理解一个关键概念：如果一个函数在某一点处没有间断或跳跃，那么这个函数在这个点上是连续的。</p>
<h3>定义</h3>
<p>设函数$f(x)$在$x=a$处有定义，且$\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$。则称函数$f(x)$在$x=a$处连续。</p>
<h3>性质</h3>
<ul>
<li>若$f(x)$和$g(x)$都在$x=a$处连续，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在$x=a$处连续。</li>
<li>基本初等函数在其定义域内都是连续的。</li>
</ul>
<h3>例题</h3>
<p>考虑函数$f(x) = x^2 + 3x - 2$。证明$f(x)$在$x=1$处连续。</p>
<ol>
<li>首先，计算$f(1)$：$f(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 - 2 = 2$。</li>
<li>然后，计算$\lim\limits_{x \to 1} f(x)$：$\lim\limits_{x \to 1} (x^2 + 3x - 2) = 1^2 + 3 \cdot 1 - 2 = 2$。</li>
<li>最后，比较两者是否相等：$f(1) = 2$ 和 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 2$，因此$f(x)$在$x=1$处连续。</li>
</ol>
</div>