数列的极限
单调有界定理
重要程度：9 分
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<h2>单调有界定理</h2>
<p>单调有界定理是数列极限理论中的一个重要定理，其内容如下：</p>
<blockquote>
<p>若一个数列是单调递增且有上界的数列，或单调递减且有下界的数列，则该数列必存在极限。</p>
</blockquote>
<h3>单调递增数列</h3>
<p>若一个数列满足以下两个条件：</p>
<ul>
<li>对于任意正整数 \( n \)，都有 \( a_n \leq a_{n+1} \)；</li>
<li>存在某个常数 \( M \)，使得对于任意正整数 \( n \)，都有 \( a_n \leq M \)。</li>
</ul>
<p>则该数列必存在极限。</p>
<h3>单调递减数列</h3>
<p>若一个数列满足以下两个条件：</p>
<ul>
<li>对于任意正整数 \( n \)，都有 \( a_n \geq a_{n+1} \)；</li>
<li>存在某个常数 \( m \)，使得对于任意正整数 \( n \)，都有 \( a_n \geq m \)。</li>
</ul>
<p>则该数列必存在极限。</p>
<h3>例题</h3>
<p>考虑数列 \( \{a_n\} \)，其中 \( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = \sqrt{a_n + 6} \)。</p>
<p>证明该数列存在极限。</p>
<ol>
<li>首先证明数列单调递增：</li>
<p>假设 \( a_n \leq a_{n+1} \)，则 \( \sqrt{a_n + 6} \leq \sqrt{a_{n+1} + 6} \)，即 \( a_{n+1} \leq a_{n+2} \)。</p>
<li>其次证明数列有上界：</li>
<p>假设存在一个常数 \( M \)，使得 \( a_n \leq M \) 对于所有 \( n \) 成立。</p>
<p>考虑 \( a_{n+1} = \sqrt{a_n + 6} \)，由于 \( a_n \leq M \)，所以 \( a_{n+1} \leq \sqrt{M + 6} \)。</p>
<p>取 \( M = 3 \)，则 \( \sqrt{M + 6} = \sqrt{9} = 3 \)，因此 \( a_{n+1} \leq 3 \)。</p>
<li>根据单调有界定理，数列 \( \{a_n\} \) 存在极限。</li>
</ol>
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