高等数学（一）

<div> <h2>反函数的求导公式</h2> <p>假设函数 \( y = f(x) \) 在区间 \( I \) 上单调且可导，并且 \( f'(x) \neq 0 \)，那么它的反函数 \( x = g(y) \) 也在对应的区间上可导，且有：</p> <p>\( g'(y) = \frac{1}{f'(x)} \)</p> <p>其中 \( y = f(x) \)。</p> <h3>例题说明</h3> <p>假设 \( y = e^x \) 是一个指数函数，其反函数为 \( x = \ln(y) \)。</p> <p>首先，计算 \( y = e^x \) 的导数：</p> <p>\( \frac{dy}{dx} = e^x \)</p> <p>然后，利用反函数的求导公式计算 \( x = \ln(y) \) 的导数：</p> <p>\( \frac{dx}{dy} = \frac{1}{e^x} \)</p> <p>由于 \( y = e^x \)，所以 \( e^x = y \)，因此：</p> <p>\( \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y} \)</p> <p>这个结果表明，\( \ln(y) \) 的导数是 \( \frac{1}{y} \)。</p> </div>

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