高等数学（一）

<div> <h2>定义域和值域</h2> <p><strong>定义域：</strong> 定义域是指一个函数中所有可能输入值的集合。换句话说，就是自变量可以取的所有可能值。</p> <p><strong>值域：</strong> 值域是指一个函数中所有可能输出值的集合。换句话说，就是因变量可以取的所有可能值。</p> <h3>例题1：求函数$f(x) = \sqrt{x-3}$的定义域和值域</h3> <p>首先考虑根号下的表达式必须大于等于0，即$x - 3 \geq 0$，解得$x \geq 3$。因此，定义域为$[3, +\infty)$。</p> <p>接下来考虑函数的值域。由于根号函数的输出总是非负的，且$x$从3开始无限增大，$\sqrt{x-3}$也会从0开始无限增大。因此，值域为$[0, +\infty)$。</p> <h3>例题2：求函数$f(x) = x^2 - 4x + 5$的定义域和值域</h3> <p>这个函数是一个二次函数，对于所有的实数$x$都是有意义的，所以定义域是$(-\infty, +\infty)$。</p> <p>为了找到值域，我们可以将函数配方，得到$f(x) = (x-2)^2 + 1$。可以看出，最小值发生在$x=2$时，此时$f(x) = 1$。因为$(x-2)^2$总是非负的，所以$f(x)$的值总是大于等于1。因此，值域为$[1, +\infty)$。</p> </div>

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