第六节 无穷小的比较
无穷小量的性质
重要程度：7 分
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<h2>无穷小量的性质</h2>
<ul>
<li>
<strong>性质1：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。</strong>
<p>例如：设$\alpha(x)$和$\beta(x)$是当$x \to x_0$时的无穷小量，则$\alpha(x) + \beta(x)$也是当$x \to x_0$时的无穷小量。</p>
<p><strong>例题：</strong>证明当$x \to 0$时，$\sin(x) + x^2$是无穷小量。</p>
<p>解：当$x \to 0$时，$\sin(x)$是无穷小量，而$x^2$也是无穷小量。根据性质1，$\sin(x) + x^2$是无穷小量。</p>
</li>
<li>
<strong>性质2：有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小量。</strong>
<p>例如：设$\alpha(x)$是当$x \to x_0$时的无穷小量，且$f(x)$在$x_0$附近有界，则$f(x)\alpha(x)$是当$x \to x_0$时的无穷小量。</p>
<p><strong>例题：</strong>证明当$x \to 0$时，$x\cos(x)$是无穷小量。</p>
<p>解：当$x \to 0$时，$\cos(x)$是有界的（其值始终在$[-1,1]$之间），而$x$是无穷小量。根据性质2，$x\cos(x)$是无穷小量。</p>
</li>
<li>
<strong>性质3：常数与无穷小量的乘积仍是无穷小量。</strong>
<p>例如：设$\alpha(x)$是当$x \to x_0$时的无穷小量，$c$为常数，则$c\alpha(x)$是当$x \to x_0$时的无穷小量。</p>
<p><strong>例题：</strong>证明当$x \to 0$时，$5x$是无穷小量。</p>
<p>解：当$x \to 0$时，$x$是无穷小量。根据性质3，$5x$也是无穷小量。</p>
</li>
<li>
<strong>性质4：有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。</strong>
<p>例如：设$\alpha(x)$和$\beta(x)$是当$x \to x_0$时的无穷小量，则$\alpha(x)\beta(x)$也是当$x \to x_0$时的无穷小量。</p>
<p><strong>例题：</strong>证明当$x \to 0$时，$x^2\sin(x)$是无穷小量。</p>
<p>解：当$x \to 0$时，$x^2$和$\sin(x)$都是无穷小量。根据性质4，$x^2\sin(x)$是无穷小量。</p>
</li>
</ul>
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