第二节 极限的概念
极限存在准则
重要程度：8 分
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<h2>极限存在准则</h2>
<p>极限存在准则是用来判断数列或函数极限是否存在的重要工具。主要有两个准则：</p>
<ol>
<li><strong>夹逼准则（Squeeze Theorem）</strong></li>
<p>如果当$x \to a$时，有三个函数$f(x)$, $g(x)$, $h(x)$满足以下条件：</p>
<ul>
<li>$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$</li>
<li>$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$</li>
</ul>
<p>则$\lim_{x \to a} g(x) = L$。</p>
<p>举例说明：</p>
<p>考虑函数$g(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$在$x \to 0$时的极限。</p>
<p>我们知道$-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$，所以：</p>
<p>$-x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$。</p>
<p>因为$\lim_{x \to 0} -x^2 = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$，根据夹逼准则，我们得到：</p>
<p>$\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$。</p>
<li><strong>单调有界定理（Monotone Convergence Theorem）</strong></li>
<p>如果一个数列$\{a_n\}$是单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则这个数列必收敛。</p>
<p>举例说明：</p>
<p>考虑数列$a_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^n}$。</p>
<p>这个数列是单调递增的，并且有一个上界（例如2）。因此，根据单调有界定理，这个数列是收敛的。</p>
<p>我们可以计算这个数列的极限为：</p>
<p>$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k} = 2$。</p>
</ol>
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