空间力系
空间力偶理论
重要程度：7 分
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<h2>空间力偶理论</h2>
<p><strong>定义：</strong>空间力偶是指两个大小相等、方向相反且作用线不在同一直线上的平行力所组成的力系。</p>
<p><strong>特点：</strong>
<ul>
<li>力偶矩矢量是一个自由矢量，可以平移到任意位置而不改变其效应。</li>
<li>力偶矩矢量的方向遵循右手螺旋法则。</li>
</ul>
</p>
<p><strong>力偶矩矢量表示：</strong>
<ul>
<li>力偶矩矢量 \(\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\)，其中 \(\mathbf{r}\) 是从一个力的作用点到另一个力的作用点的矢径，\(\mathbf{F}\) 是其中一个力的大小。</li>
</ul>
</p>
<h3>例题：空间力偶矩的计算</h3>
<p>假设有一个力偶，其中每个力的大小为 \(F = 10 \, \text{N}\)，两个力的作用点分别为 \(A(1, 2, 3)\) 和 \(B(4, 5, 6)\)。计算该力偶的力偶矩。</p>
<p>首先，求出矢径 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}_B - \mathbf{r}_A\)。</p>
<p>\(\mathbf{r} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}\)</p>
<p>然后，计算力偶矩 \(\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\)。</p>
<p>\(\mathbf{M} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
3 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 10 \\
\end{vmatrix}
= (3 \cdot 10 - 3 \cdot 0)\hat{i} - (3 \cdot 10 - 3 \cdot 0)\hat{j} + (3 \cdot 0 - 3 \cdot 0)\hat{k}
= 30\hat{i} - 30\hat{j} + 0\hat{k}\)
</p>
<p>因此，该力偶的力偶矩为 \(\mathbf{M} = 30\hat{i} - 30\hat{j}\)。</p>
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